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Mx(t), Moment Generating Function of X (적률 생성 함수) 적률로 해석되는 모멘트(Moment)는 무엇일까? 통계학에서는 다음과 같이 정리한다. 1차 모멘트: 평균(Mean) 2차 모멘트: 분산(Variance) 3차 모멘트: 왜도(Skewness) 분포의 기울어짐 4차 모멘트: 첨도(Kurtosis) 이는 얼마나 평균으로부터 모여있는지, 뾰족한지, 뭉퉁한지를 나타낸다. 위처럼 K차 모멘트를 수식으로 E(X^k)로 나타낸다. 각 차수의 모멘트를 결합하여 나타낼 수 있는 4개의 수치는 pdf의 모양을 결정하는 역할을 한다. 모멘트를 구하기 위해서는 Mx(t)를 미분하고 t = 0을 대입하면 되는데, n차 모멘트는 Mx(t)를 n번 미분하면 된다. 따라서, 2차 모멘트는 미분을..

Section 4.2 E(X) and Var(X) of Exp(λ) (지수 분포의 평균과 분산) Gamma Distribution (감마 분포) 감마분포 a개의 사건(포아성 사건이 a회 발생)이 일어날 때까지 걸리는 대기 시간에 대한 분포이다. 지수 분포는 a = 1일때의 감마 분포라고 할 수 있다. 평균사건발생 횟수인 람다는 일정해야한다. 포아송 분포는 람다를 모수로 가지고, 단위 시간과 단위 공간에서 어떤 사건이 몇번 발생할 것인지를 나타내는 분포이다. 다시 한번, 포아송 분포는 어떤 단위 구간(시간)에서 일어나는 특정 사건의 발생 횟수에 대한 분포이다. 특정 시간동안 톨게이트에 도착하는 차량의 개수를 예시로 들 수 있다. 또 예를 들어, 포아송 분포를 통해서 평균발생횟수가 5개 되는 단위 구간에서 ..

Section 4.5 Cummulative Distribution Function (CDF) 누적분포함수 누적분포함수, 확률밀도함수를 누적하여 구할 수 있는 확률분포함수이다. 누적분포함수는 확률변수가 x 이하의 모든 값을 가질 확률을 누적함으로써 정의된다. 즉, random variable이 특정 값보다 작거나 같을 확률을 나타내는 함수다. 주어진 random variable X의 CDF는 다음과 같이 정의한다. PDF와 CDF의 관계 CDF를 미분하면 PDF, 반대로 PDF를 적분하면 CDF가 된다. PDF는 f(x)로 표기하고, CDF는 F(x)로 표기한다. Section 4.2 Exponential Distribution (지수 분포) 어떤 사건이 처음으로 발생하기까지의 걸린 시간을 random v..

Uniform Distribution (균일 분포) 연속 확률분포에 해당한다. 모든 확률변수에 대해 균일한 확률을 갖기 때문에 Uniform Distribution이다. Uniform Distribution의 함수값은 확률이 아닌 확률 밀도(density)이다. 폐구간 [a, b]내의 모든 구간(렉쳐노트에서는 0,1)에서 일정한 크기의 확률을 가질 때, 균일 확률 변수 X의 PDF(확률밀도함수) f(x)는 다음과 같다. Uniform Distribution의 E(X), E(X^2) and Var(X) Section 4.1 Probability Density Let X be a continuous random variable. The probability density of X is described by..