STAT134 Lec23

Mx(t), Moment Generating Function of X (적률 생성 함수)

적률로 해석되는 모멘트(Moment)는 무엇일까? 통계학에서는 다음과 같이 정리한다.

1차 모멘트: 평균(Mean)

2차 모멘트: 분산(Variance)

3차 모멘트: 왜도(Skewness) 분포의 기울어짐

4차 모멘트: 첨도(Kurtosis) 이는 얼마나 평균으로부터 모여있는지, 뾰족한지, 뭉퉁한지를 나타낸다.

위처럼 K차 모멘트를 수식으로 E(X^k)로 나타낸다.

각 차수의 모멘트를 결합하여 나타낼 수 있는 4개의 수치는 pdf의 모양을 결정하는 역할을 한다.

모멘트를 구하기 위해서는 Mx(t)를 미분하고 t = 0을 대입하면 되는데, n차 모멘트는 Mx(t)를 n번 미분하면 된다.

따라서, 2차 모멘트는 미분을 두번하고 t = 0을 대입하면 되는 것이다. 

MGF의 특징

If two random variables X and Y have the same distribution, Mx(t) = My(t) for all possible t.

만약 같은 MGF를 가지는 두개의 확률변수가 있다면, 그들은 같은 분포를 가지게 된다. 하나의 MGF가 하나의 확률분포에 대응한다는 것이다.

 

Works cited:

https://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=jaurim1011&logNo=222169199080&parentCategoryNo=&categoryNo=109&viewDate=&isShowPopularPosts=true&from=search 

[확률통계] Moment Generating Functions (적률생성함수)

https://yngie-c.github.io/statistics/2020/10/23/mgf/

적률생성함수(Moment Generating Function, MGF) · Data Science